جمعه، دی ۲۳، ۱۳۸۴

به همين سادگي

دو مهره غير هم رنگ را به شما مي‌دهند و مي‌گويند به هر نوع آرايش ممكني كه توانستيد، آنها را روي يك خط بچينيد. ساده است: اوّل يكي را (كه مثلاً سفيد است) مي‌گذاريد، و بعد ديگري را (كه فرض كنيم سياه است) در جاي دوّم قرار مي‌دهيد. تنها آرايش ممكن ديگر اين است كه جاي آنها را عوض كنيد: اوّل سياه، دوّم سفيد. حالا فرض كنيد سه تا مهره غير هم رنگ به شما بدهند. به چند طريق مختلف مي‌توانيد آنها را روي يك خط بچينيد؟ به نظر مي‌رسد بايد هر آرايش ممكن را در نظر گرفت و بعد تعداد آنها را با هم جمع زد. امّا ممكن است يكي از آرايشها به ذهنتان نرسد. آن وقت چه؟ راه ساده‌تري وجود دارد: فرض كنيد سه خانه خالي مشخّص در امتداد يك خط قرار دارند كه هر دفعه بايد هر خانه را با يكي از مهره‌ها پركرد. خوب، خانه اوّل را مي‌شود با هر يك از سه مهره پر كرد. پس براي پر كردن آن سه راه مختلف وجود دارد. وقتي كه اين خانه را با يكي از مهره‌ها پر كرديم، خانه دوّم را مي‌توانيم با هر يك از دو مهره باقي‌مانده پر كنيم. پس براي پر كردن خانه دوّم دو راه وجود دارد و وقتي كه اين خانه را پر كرديم، خانه سوّم را فقط با تنها مهره باقي‌مانده مي‌شود پر كرد، يعني فقط يه يك طريق ممكن. پس بايد سه راه ممكن براي خانه اوّل را در دو راه ممكن براي خانه دوّم ضرب كنيم و بعد حاصل را (كه عدد شش است) در يك راه ممكن براي پر كردن خانه سوّم ضرب كنيم. حاصل مي‌شود شش راه، يعني شش راه براي چيدن سه مهره متمايز در سه خانه متوالي وجود دارد.

خوب كه چه؟

در همين مثال ساده دو اصل بنيادي حساب تركيبيات (Combinatorics) به كار رفته‌است: اصل جمع و اصل ضرب. اصل جمع آن قدر ساده است كه ممكن است كسي فكر كند اصلاً ارزش گفتن ندارد (ولي اشتباه مي‌كند).

اصل جمع: اگر يك كار را بشود به m راه مختلف انجام داد و همان كار را بشود به n راه مختلف ديگر هم انجام داد، آنگاه آن كار را مي‌توان مجموعاً به m+n راه متفاوت انجام داد.

اصل جمع را در مثال دو مهره به كار برديم و در آنجا m و n هر دو برابر يا يك بودند و 1+1=2 شد. در مثال سه مهره هم اوّل اصل جمع به ذهن مي‌رسد، ولي كمي كه دقّت كنيم، اصل ضرب را (كه در واقع تعميم اصل جمع است) براي حلّ آن مورد مناسب‌تر مي‌يابيم.

اصل ضرب: اگر يك كار را بشود به m روش مختلف انجام داد، و كار ديگري را بشود به n راه مختلف انجام داد، آن گاه اين دو كار را با هم مي‌توان مجموعاً به m×n طريق مختلف انجام داد.

اصل ضرب را با m=3 و n=2 در مورد چيدن سه مهره به كار برديم.

اينها آغاز راه هستند. امّا فعلاً به عنوان آخرين مثال فرض كنيد تعداد s مهره متمايز داريد كه بايد آنها را به همه روشهاي ممكن در s خانه خالي متوالي بچينيد. به چند طريق (آرايش) مختلف مي‌توان اين كار را كرد؟ باز هم اصل ضرب را به كار بگيريد: خانه اوّل را با هر يك از s مهره موجود مي‌توان پر كرد. وقتي اين خانه پر شد، خانه بعدي را با هر يك از s-1 مهره باقي‌مانده مي‌شود پر كرد و به همين ترتيب تا خانه sام. پس تعداد كلّ آرايشهاي ممكن مي‌شود:

s×(s-1)×(s-2)×…×1

براي نمايش چنين تركيبي يك نماد ساده در رياضيات وجود دارد: s با يك علامت تعجّب جلوي آن و s فاكتوريل (s factorial) خوانده مي‌شود:

S! = s×(s-1)×(s-2)×…×1

شايد همه اينها را كه گفتم بلد باشيد، ولي نكته اصلي كه مي‌خواهم به آن اشاره كنم اين است: فكر مي‌كنيد در پيچيده‌ترين و پيشروترين شاخه‌هاي فيزيك نظري هم اين نوع رياضيّات ابتدائي (و شكل كمي پيچيده‌تر آن) ممكن است به كار آيد؟ جواب: بسيار زياد. تعجّب كرديد؟

مثال: در فيزيك خيلي وقتها (مثلاً در مكانيك آماري و همچنين در مكانيك كوانتومي)، نظريه‌اي داريم كه ساختمان و ساز و كار ماده را در سطح ميكروسكوپي به درستي توصيف مي‌كند و با آزمايشها هم سازگار است، امّا وقتي مي‌خواهيم از همين نظريه براي پيش‌بيني رفتار يك جسم ماكروسكوپي (بزرگ) استفاده كنيم، با اين واقعيّت مواجه مي‌شويم كه يك آزمايش ماكروسكوپي نمي‌تواند جزئيّات ريز سيستم را از هم تشخيص دهد، پس بايد همه راههاي تركيب آن جزئيّات با هم را، تا جايي كه به مقدار يكساني از يك كمّيت ماكروسكوپي سيستم منجر شوند، بشماريم و با هم جمع كنيم. مثلاً وقتي مقداري گاز در يك كپسول است و ما مي‌خواهيم از راه بررسي رفتار جمعي مولكولهاي آن گاز، پيش‌بيني كنيم كه فشار گاز چقدر است، در محاسباتمان بايد اين واقعيّت را لحاظ كنيم كه اگر جا و سرعت دو مولكول مشابه گاز عيناً با هم عوض شود، تغييري در رفتار كلّي گاز به عنوان يك سيستم بزرگ ايجاد نمي‌شود و فشار‌سنجي هم كه ما روي كپسول نصب كنيم، نسبت به اين تغيير «كور» است. پس بايد چنين امكاني را براي تك‌تك مولكولهاي گاز در نظر بگيريم و در محاسباتمان وارد كنيم. در نظر نگرفتن چنين تغييري منجر به پيش‌بيني نظري نادرستي از رفتار گاز مي‌شود كه به پارادوكس گيبس (Gibbs Paradox) معروف است (بله، چنين خطاي به ظاهر ساده‌اي واقعاً رخ داده و سالها موضوع بررسي بوده.). عاملي كه در محاسبات بايد وارد شود، دقيقاً هماني است كه الآن به دست آورديم: N! ، كه N تعداد مولكولهاي گاز است، و معكوس اين فاكتور به نام فاكتور گيبس در فيزيك آماري معروف است كه اهمّيّت فوق‌العاده‌اي هم دارد.

پس سادگي را دست‌كم نگيريم. همين رياضيات به ظاهر ساده مدّتها از چشم حرفه‌ايها پنهان مانده و تنها وقتي كه جواب پيدا شده همه فهميده‌اند كه چقدر بديهي بوده، چقدر ساده، و چه زيبا، همان گونه كه شايسته طبيعت است.

0 Comments:

ارسال یک نظر

Links to this post:

ایجاد یک پیوند

<< Home